题目：《均值回归模型下大豆期货套利策略与实证分析》
一、理论基础均值回归是指股票价格无论高于或低于价值中枢（或者某个均值）都会以很高的概率向价值中枢回归的趋势。
均值回归过程的一般模型为：
其中x为随机变量，q为回归速度，p/q为长期均值，为方差，dw是维纳过程的增量。
为均值为、方差为的标准正态分布随机变量。均值回归理论研究的主要意义在于其向传统的股票价格随机游走理论进行了挑战。在随机游走模型下，股票的未来价格是难以预知的。而如果股票价格是在均值回归的模型下股票价格就并非是完全不可预测的。通过均值回归的模型，就可以找到一系列大概率的战胜市场的策略，而这也正是广大主动投资者所追求的。
本文以大连商品交易所大豆、豆粕和豆油期货合约为研究对象，选择三者的主力合约期货日收盘价作为研究对象，试图构造一个能够获取收益的套利策略。首先检验这些价格序列的长期协整关系，再通过误差修正模型来验证其均值回归的特性，然后根据拟合公式来构建套利组合，使用均衡回归模型来制定套利策略，并评价策略效果。
二、豆类期货价格关系1.数据说明
大连商品交易所大豆、豆粕和豆油期货合约设置如表1所示，三个期货品种拥有的共同交割月份合约为1,3,5,7,9,11月。三个品种的合约到期日均为交割月的第10个交易日。从历史数据来看，每年1月合约、5月合约和9月合约的持仓量和交易量都较大，资金参与度较高，当价格出现不合理时，市场有足够的流动性让产业资金参与进去发现真实的价格。在同一个交易日会存在多个合约进行交易，因此本文需要选择用在选定时间内成交量和持仓量最高的合约来构建期货连续价格数据。在实际的期货交易中，合约的持仓量与成交量往往在交割月的前一个月就会大幅减少。为了规避此种情况带来的流动性风险以及在低成交下的价格剧烈波动，本文选择在交割月前一月的第一交易日开始换月，即采用下一个主力合约的交易数据。
表1大商所大豆、豆粕和豆油期货合约
交易品种
黄大豆1号
豆粕
豆油
交易单位
10吨一手
10吨一手
10吨一手
交割月份
1,3,5,7,9,11月
1,3,5,7,8,9,11,12月
1,3,5,7,8,9,11,12月
最后交易日
交割月第十个交易日
交割月第十个交易日
交割月第十个交易日
最低保证金
合约价值的5％
合约价值的5％
合约价值的5％
交易手续费
不超过4元/手
不超过3元/手
不超过6元/手
根据以上原则，本文选择利用每年1、5、9月份交割的合约收盘价来构建价格序列，包含了自合约起到合约结束的共个数据。为了对套利策略进行分析，本文将样本区间划分成两个子样本区间，第一个区间为年5月到年7月共个数据，用于协整关系的检验和套利模型估计；第二个区间包含了依据前文原则构建的合约的80组价格数据，时间跨度为年8月1日起到年11月25日结束，用于对套利策略的样本外评判。
2.描述性统计：
本文分别用soybean、soyoil和soymeal来表示大豆、豆油和豆粕期货价格序列，其合约价格走势如图1所示：
图1：大豆、豆粕和豆油期货价格走势
表2：样本期内大豆、豆粕和豆油期货合约价格相关系数
大豆
豆粕
豆油
大豆
1
豆粕
0.
1
豆油
0.
0.
1
如图1、表2所示，大豆、豆粕和豆油期货价格序列走势相似，不存在非常明显的季节性规律，通过相关性分析也可以看出，三者之间相关性较高。根据大商所资料显示，每1吨大豆可以制出大约0.18吨的豆油和0.8吨的豆粕，由此可见大豆压榨产业链上的几个品种生产上存在某种稳定的关系。即去验证三者价格之间是否存在特定的均衡关系，也即是否存在协整关系。
3.单位根检验
在论证大豆、豆粕和豆油之间的协整关系之前，需要分别对样本区间内的价格序列进行平稳性分析，使用ADF的方法来对期货价格数据以及其差分进行单位根检验，大豆、豆粕和豆油的一阶差分分别表示成△soybean、△soymeal和△soyoil.
表3大豆、豆粕和豆油价格数据和差分序列的ADF单位根检验结果
序列名称
检验统计量
1%临界值
5%临界值
10%临界值
概率值
结果
soybean
-2.
-3.
-2.
-2.
0.
不平稳
△soybean
-38.
-3.
-2.
-2.
0
平稳
soymeal
-2.
-3.
-2.
-2.
0.
不平稳
△soymeal
-40.
-3.
-2.
-2.
0
平稳
soyoil
-1.
-3.
-2.
-2.
0.
不平稳
△soyoil
-36.
-3.
-2.
-2.0
0
平稳
从以上ADF检验的结果可以看出，soybean、soyoil和soybean价格数据的检验统计量大于1%，5%和10%检验水平临界值，不能拒绝不存在单位根的原假设，可以认为以上三个序列都包含单位根，是非平稳序列。对其一阶差分序列进行平稳性检验，检验结果显示Δsoybean、Δsoymeal和Δsoyoil的ADF检验统计量都小于1%检验水平下的临界值，因此该差分序列不包含单位根，是平稳序列，三者价格序列是一阶单整，满足协整检验的条件。
4.协整关系检验
通过使用包含截距项但是不包含时间趋势项的Johansen协整检验来判断三者之间是否存在协整关系。设置Johansen协整检验的滞后项数为4，由下表检验结果可知，大豆、豆粕和豆油期货价格之间在5%的置信水平下存在协整关系，尽管短期价差可能会出现偏差，但是内在的动力会驱使其回归均衡.
零假设
迹统计量
5%临界值
伴随概率
R≤0
35.91
35.19
0.
R≤1
14.63
20.26
0.
R≤2
4.42
9.16
0.
5.误差修正模型
通过协整检验结果可以得到大豆、豆粕和豆油期货价格序列之间存在长期协整关系，而这种长期协整关系是通过短期内的不断动态调整实现的，通过参考Simon（）的方法来对短期动态调整的过程进行估计。
首先建立回归方程：
对上式进行OLS方法估计，得到：
R2=0.，F=.，伴随概率为0.
可推导出残差序列：
图2大豆、豆粕和豆油期货价格序列回归残差图
令：
用△profitt来表示压榨利润预估值的一阶差分，对下面误差修正模型：
进行最小二乘法参数估计得到：
伴随概率为0.，上式表明的系数显著小于0，压榨利润存在均衡回归的特征。
三、套期保值与检验分析1.套利头寸选择
在对大豆压榨套利进行分析时，关于价差头寸的构建通常有两种方法，一种是基于实务压榨公式来构建套利头寸，周丽聪()基于实务压榨公式来进行套利交易，0.份豆粕合约、0.79份豆油合约和一份反方向的大豆合约。另一种方法是基于统计回归得出三个品种间的长期均衡公式，以此来对套利合约中各个品种的头寸进行配比。武军伟()根据历史数据拟推导出压榨利润公式，0.份的豆油，0.78份的豆粕和一份反方向的大豆合约。两种方式各有优劣，虽然豆粕、豆油和大豆之间的长期均衡关系根源上是依存于实务中压榨商的压榨活动来实现，使用实务压榨公式可以规避选择样本数据的不同造成的偏差，更加着重该头寸的核心本质。但是这种方法可能会忽视掉期货与现货的不同，难以做到套利策略的最优化，因此选择根据长期协整公式推导出的压榨公式来进行期货品种的配比。soybean、soyoil和soybean的压榨收益可以表示成：
本文将依据均值回归模型来对profit头寸进行交易，其依据的核心逻辑即三者之间的长期均衡关系，一份完整的profit多头头寸是买入0.份豆粕合约、0.份豆油合约，并同时卖出1份大豆合约。一份profit空头头寸等于卖出0.份豆粕合约以及0.份豆油期货并同时买入1份大豆合约。在大商所已上市的大豆、豆粕和豆油期货合约中，最小交易单位都为一手10吨，并不能进行更小份额的交易。但是这并不影响对套利策略的分析，因为可以通过同时放大头寸数量来实现提出的套利方案。
2..交易保证金
大连商品交易所对于大豆、豆粕和豆油规定的最低保证金都为5%，在实际交易中，交易公司对于保证金的收取会在交易所规定下进行一定上浮，本文规定大豆、豆油和豆油的保证金比例为7%。
3.交易费用
大连商品交易所对于大豆、豆粕和豆油的交易采取固定手续费。1手大豆期货合约的单边手续费最高不超过4元/手；1手豆粕期货合的单边手续费最高不超过3元/手；1手豆油期货合约的单边手续费最高不超过6元/手。由于期货公司需要根据比例手续一定的手续费作为报酬，经过计算，想要构建1手大豆，0.手豆粕和0.手豆油的头寸大约需要20元的手续费，而进行一次完整的买卖操作则需要计入两份手续费，即40元/1手。由于是以吨为计量单位对价格进行分析，因此根据一手10吨的换算公式，总需的手续费为4元/吨。
4.最后交易日强制平仓
虽然大豆、豆粕和豆油的最后交易日都为交割月的第十个交易日，但是由于本文的数据样本考虑的是交割月前一个月第一个交易日更换合约，因此规定最后交易日为交易合约交割月前两个月最后一天，如果价差在最后交易日仍未回归，实行强制平仓操作。而在期货投资实际交易中也大多符合此惯例，由于临近交割月会带来逼仓、保证金提升以及其他流动性风险，大多数投资者会选择在这个时间去交易新的主力合约。
5.均值回归模型解释：
根据前文检验，大豆、豆粕和豆油期货之间存在长期均衡关系，虽然三者的价差会存在短期偏差，但其内在的关系会充当一只看不见的手的角色使其重新走向长期均衡。因此当profit大于一定阀值时，则表示相对豆粕和豆油的期货价格，大豆期货价格已经在一定程度上被低估，这时可以进行卖出0.份豆粕合约、0.份豆油合约，买入1份大豆合约的操作。当profit小于一定阀值时，则表示大豆期货价格已经被高估，此时可以买入0.份豆粕合约、0.份豆油期货并同时卖出1份大豆合约。
6.均值回归模型开平仓信号
X，K分别为交易的开仓阀值和平仓阀值，具体的开平仓规则如下：
(1)当
profit
＞X时，进行profit套利开仓操作，
如果profitX，则进行卖出profit套利；
如果profit-X，则进行买入profit套利。
(2)当
profit
K时，如果此时拥有套利头寸，则进行平仓操作，
如果profitK，且拥有profit空头头寸，那么将空头头寸平仓；
如果profit-K，且拥有profit多头头寸，那么将多头头寸平仓。
对于X值与K值的选择，基于VaR计算得出profit的标准差为.84，由于使用的样本数据较多，因此在计算置信区间时可以参考正态分布，在80%的置信水平下进行双侧的选取来确定开仓阀值X，查表可得到
X
=.84*1.=.13,当profit.13时，进口卖出profit套利；当profit-.13时，进行买入profit套利。我国大豆期货套利回归周期较长，如果选择等待短期偏差回归到长期均衡状态再平仓，很有可能会面临最后不能回归的风险，因此选择在头寸自开仓阀值点向有利方向运行个点后就平仓。即将K值设为.13，如果持有profit空头头寸，当profit.13时平仓；如果持有头寸为profit多头，那么当profit-.13时进行平仓操作。
7.交易时间控制
为了尽量规避最后交易日profit价差仍未回归长期均衡的风险，本文规定在交割月前两个月的第一个交易日起，即使模型提供非常强烈的交易信号也不进行开仓操作。因为均衡回归模型是基于短期偏差最终会走向长期均衡，在最后一段时间内，如果profit价差一直偏离长期均衡状态，会带来投资损失。
8.样本内实证结果分析
在前文对于套利细节的规定基础上，对于基于均值回归模型的套利策略进行细致分析，以合约出现的一次profit多头套利为例，入场时间为年2月27日，入场profit为-.，出场时间为年3月9日，出场profit为-.，套利毛收益等于.，一次完整的套利手续费需要4元，套利净收益等于.。入场时的大豆、豆粕和豆油价格分别为元/吨，元/吨和元/吨。按照7%的保证金比例计算，保证金公式为(0.*豆粕价格+0.*豆油价格+大豆价格)*0.07，入场保证金需要.64，套利期间内的最高保证金为出场时的.39。此次套利收益等于.50/.39=28.9%。
此次套利区间内期货日收盘价格如表5所示：
表5年2月27日至年3月10日大豆、豆粕、豆油日收盘数据
日期
豆油
豆粕
大豆
profit
/2/27
-.41
/3/2
-.41
/3/3
-.33
/3/4
-.49
/3/5
-.91
/3/6
-.15
/3/9
-.03
/3/10
-.90
基于同样的交易原则，下表将样本区间内的所有交易情况列举出来，包括开平仓时间、头寸持有期，最终收益收益率。由表6、表7和表8可知，在样本区间内一共出现了十一次交易机会，六次为profit空头套利，五次为profit多头套利，由于一系列开平仓条件的设置使得此策略的胜率比较高，且收益相对比较可观，但是回归半周期过长问题非常明显，在十一次交易中，最长的持有期高达76个交易日，即使最少的持有期也有7个交易日，平均持有期为32个交易日。
表6、、和合约交易情况
第一次
第二次
第三次
第四次
交易合约
入场时间
/6/12
/4/14
/8/4
/2/27
入场profit
.94
-.29
.85
-.41
出场时间
/7/31
/7/8
/10/13
/3/10
出场profit
.53
-98.68
.07
-.90
持有期
35个交易日
58个交易日
44个交易日
7个交易日
最高保证金
.55
.87
.96
.39
收益率
34.35%
53.99%
25.09%
29.33%
最大亏损
-15.11%
-48.53%
-0.56%
0.00%
表、、和合约交易情况
第五次
第六次
第七次
第八次
交易合约
入场时间
/10/12
/1/17
/12/15
/5/23
入场profit
.52
.55
-.39
.70
出场时间
/11/30
/2/15
/12/28
/6/5
出场profit
.07
.26
-.40
.90
持有期
35个交易日
16个交易日
9个交易日
9个交易日
最高保证金
.13
.86
.81
.79
收益率
8.12%
16.45%
21.45%
42.38%
最大亏损
0.00%
-0.29%
0.00%
0.00%
表、和合约交易情况
第九次
第十次
第十一次
交易合约
入场时间
/8/29
/12/3
/4/1
入场profit
.83
-.25
-.12
出场时间
/9/21
/2/22
/7/26
出场profit
.26
-.07
-.28
持有期
17个交易日
51个交易日
76个交易日
最高保证金
.64
.77
.47
收益率
15.76%
29.63%
29.64%
最大亏损
-7.32%
-4.06%
-71.19%
9.样本外实证结果检验
基于前文提出的分析基础和策略上，下面对年8月1日至年11月25日的80个数据进行样本外检验，其包含了本文构建规则下的所有合约数据。由下图可知，在样本外区间内只出现了一次交易机会，价差最终回归到长期均衡状态，没有发生合约到期仍未回归导致的强行平仓。
表9基于均值回归模型样本外套利具体情况
第一次
交易合约
入场时间
/8/1
入场profit
-.51
出场时间
/8/16
出场profit
-.36
持有期
11个交易日
最高保证金
.07
收益率
28.42%
最大亏损
-3.80%
四、策略总结基于长期均衡回归提出的套利策略无论是在样本内还是在样本外都获得了不错的收益，并且在样本内外发生共12次交易里，没有一次亏损。但是该套利方案同样存在如下的几个问题：
（一）持有期过长
无论是在样本期内还是在样本期外，头寸的持有期都比较长，其中最长者高达76个交易日，样本期内外11次交易的平均持仓时间更是高达32天，这主要由于长期均衡模型基于的逻辑是短期偏差最终会回归，但是这种回归的速度由期现货市场的成熟度、产业资金的参与度等因素共同决定，目前我国期货市场还是快速发展之中、产业资金参与度有限。持有期的问题严峻。
（二）最大亏损较大
虽然样本内外的所有交易最终都获得了盈利，但与此同时还发生了两次较为严重的阶段性亏损，在年4月14日入场和年4月1日入场的两次交易中，二者的最大亏损分别达到了48.53%和71.19%，由于并没有设置止损，最后两次交易都摆脱了亏损获得了非常不错的收益，前者最终收益率为48.53%,历时58个交易日；后者最终收益也是在76个交易日内达到了39.64%。由于此统计套利开仓的选择即是基于极端情况的出现，如果再根据统计套利的规律来设置止损则显然违背了初衷。对于头寸持有者来说，最大亏损带来的风险点更可能是阶段性的亏损所带来的追加保证金风险，而并非止损。这一点在实际操作中需要注意。
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